Kurt Gödel, Το Θεώρημα της μη πληρότητας, εκδόσεις Δρόμων, 2019

Κυκλοφόρησε πρόσφατα απ' τις εκδόσεις Δρόμων το  θεώρημα του κλεινού λογικομαθηματικού Γκαίντελ μεταφρασμένο στα ελληνικά απ' τον Γιάννη Βουλιουρή ο οποίος, εκτός απ' τον πρόλογο και τη μετάφραση προβαίνει και σε μαθηματική ανάλυση περιωπής. Υπάρχουν επίσης δύο συνοδευτικά κείμενα εvείδει επιμέτρου των Δρ. Νίκου Ταμπάκη και του επίσης Δρ. Νίκου Μακρή.

Παραθέτουμε ευρέα αποσπάσματα του δευτέρου επιμέτρου:

Φιλοσοφικά Εναύσματα προσφερόμενα απ’ το Θεώρημα του Kurt Gödel

Είναι γνωστό πως ‘’έναυσμα’’ για τον Kurt Gödel (1906-1978) υπήρξε το γνωστό ‘’παράδοξο’’ του ψευδομένου, όπως και εκείνο του J. Richard (1862-1956) το οποίο διατυπώθηκε το 1905. Αργότερα, το παράδοξο του Κρητός Επιμενίδη (7^ος -6^ος αιώνας π. Χ.) το οποίο συμπυκνώνεται στη φράση: Κρῆτες ἀεί ψεῦσται, προφέρεται από κάτοικο της Κρήτης και άρα είναι (τυπικά ως κατηγόρημα) και ‘’αληθές’’ και ψευδές, συμπυκνώθηκε στο κατηγόρημα Ψεύδομαι και ονομάστηκε το παράδοξο του ψευδομένου (liars’ paradox). Στο παράδοξο του Richard το οποίο είναι παραπλανητικό δε θα επιμείνουμε. Οφείλουμε όμως να δούμε και κάτι εξίσου σημαντικό, ό,τι αμφισβητεί την αρχή της ταυτότητας: Συμβαίνει το Α να είναι και να μην είναι Α: ⌐(ΑÎΑ). Αν μάλιστα λάβουμε υπόψη μας τη θύελλα που δημιουργήθηκε με τα παράδοξα της συνολοθεωρίας και κυρίως με την προσπάθεια αναζήτησης του συνόλου των συνόλων που δεν περιλαμβάνουν τους εαυτούς τους, η θεματική παροξύνεται και στη μνήμη μας έρχονται περιφανή ονόματα G. Cantor (1845-1918), G. Frege (1848-1925), G. Peano (1858-1932), B. Russell (1872-1970) κ.α. Ας αναφέρουμε επίσης και το παράδοξο του L. Carroll (1832-1898) το οποίο συζητήθηκε αρκετά.

Είναι δυνατό, θα αναλογιζόταν κάποιος, τα καθαρά μαθηματικά να οδηγούνται σε αδιέξοδα, σε παράδοξα, σε αντιφάσεις και κρατερά κατά τα άλλα συστήματα να μοιάζουν με μπαλόνι το οποίο μια ακίδα θα μπορούσε να διαρρήξει, για να μνημονεύσω ένα σχόλιο του L. Brunschvicg (1869-1944);  Δεν είναι εξάλλου τυχαίο ότι οι εκφραστές της συμβολικής λογικής, είτε είναι μαθηματικοί, είτε κυρίως λογικοί, προσφεύγουν στον Ευκλείδη για να επισκοπήσουν εκ νέου τις αρχές της Λογικής ή την ισχύ των ευκλείδειων αξιωμάτων σε γόνιμη κατά κανόνα αντιπαράθεση με τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες (N. Lobachevsky, 1792-1856, G. Riemann, 1826-1866) δημιουργώντας όντως λαβυρίνθους σκέψεων, αναπροσλαμβάνοντας ή και τροποποιώντας γηραιές αρχές και αξιώματα κ.ο.κ. Δε θα υπεισέλθουμε σε λεπτομέρειες, αλλά θα προσπαθήσουμε να σκοπεύσουμε το ουσιώδες ανατέμνοντας κατά το δυνατό το πρόβλημα της ταυτότητας ως αυτοαναφοράς.

Πριν προχωρήσουμε όμως, και για να είμαστε ακριβείς, κανένας σχεδόν μοντέρνος νεοθετικιστής, αναλυτικός ή και καθαρός εμπειριστής, δεν αμφισβητεί ριζικά την αριστοτελική λογική η οποία παράγεται απ’ την ίδια τη λογικότητα του ανθρώπου όπως η τελευταία καταγράφεται στη γλώσσα. Ποιος θα μπορούσε να ορθώσει λόγο χωρίς τις γνωστές αριστοτελικές αρχές, τις έννοιες, τις κρίσεις, τους συλλογισμούς και τους περιορισμούς, και όπου ο τύπος εκφοράς είναι άψογος;

Βεβαίως οι νεώτεροι εισήγαγαν τις ανοιχτές και τις κλειστές προτάσεις, τις συναρτήσεις, αλλά το αριστοτελικό θεμέλιο είναι πανταχού παρόν (κατά βάση, η αριστοτελική λογική είναι περισσότερο ή λιγότερο επιτυχής ΄΄συστηματοποίηση΄΄ των πλατωνικών ιδεών, έστω και ερήμην του Σταγιρίτη). Παραθέτουμε ενδεικτικότατα την άποψη ενός συγχρόνου λογικού: Πιστεύω πως για όσο οι βασικές αρχές της λογικής δεν είναι δυνατό να δειχθούν ως εσφαλμένες, υπ’ αυτό το πνεύμα δε μπορεί να υπάρξει μια αυστηρή μη Αριστοτελική λογική που όμως, όπως δείχθηκε πρόσφατα, είναι περιορισμένης εφαρμοστικότητας (Morris R. Cohen, A Preface to Logic, Dover Publications, 1972, σελ. 81). Ας σημειωθεί επίσης πως, όπως οποιοσδήποτε τρόπος έκφρασης είναι συμβολικός, κατά παράλληλο τρόπο και η λογική έκφραση είναι συμβολική παραπέμποντας στη σκέψη και όντας πάντα σχετική. Ναι, η λογική έκφραση είναι σχετική, αλλά νοείται απολύτως και σε αυτό συνίσταται το νόημα το οποίο εκφράζει. Το πρόβλημα παροξύνεται: Είναι η μαθηματική λογική σχετική, παρά το ότι εκφράζεται με σύμβολα τα οποία ορισμένοι θεωρούν απολύτως, δυνάμει των αξιωμάτων τα οποία είναι αρχές; Σε αυτό το έργο του Gödel είναι αποκαλυπτικό, όπως θα δούμε.  

                                                *

Ας επιστρέψουμε όμως στο παράδοξο του ψευδομένου. Είναι παράδοξο ή σόφισμα; Ομολογεί ο Επιμενίδης μια ‘’αλήθεια’’, αλήθεια η οποία είναι ταυτόχρονα και ψεύδος δεδομένου ότι ομολογείται από έναν ψευδόμενο αφού είναι Κρης; Από τον Αριστοτέλη αλλά και απ’ τον κοινό μας νου γνωρίζουμε πως μία καθαρά τυπική γενική κατηγορική πρόταση είναι αυτόχρημα αντιφατική, αν η αντιστροφή της δεν ισχύει (Ουδείς Κρης λέγει αλήθεια). Αν διακρίναμε καθαρότερα, θα διαπιστώναμε πως το ουσιώδες δε βρίσκεται στην αντιστροφή, στην αρνητική έκφραση, αλλά στην ίδια τη φύση της πρότασης. Εκεί κρίνεται η αλήθεια ή το ψεύδος της, κατά τρόπο που κάθε τυποποιημένη έκφραση όχι μόνο δεν εγγυάται το αλάθητο κανόνων, αξιωμάτων, εννοιών, κρίσεων, συλλογισμών, αλλά μπορεί να οδηγεί και σε αντιφάσεις. Αυτό συμβαίνει επειδή η λογικότητα αναδύεται απ’ την κοινωνία λογίζεσθαι και νοείν. Έχει επομένως συμβολική φορά και νοείται ανεξάρτητα από αμετακίνητες αρχές.

Προς τι όμως όλος αυτός ο θόρυβος από ένα αυταπόδεικτο σόφισμα; Δεν είναι δυνατό στο όνομα ενός σοφίσματος να αναιρούμε ή να διακυβεύουμε την αρχή της ταυτότητας (άλλο ταυτότητα και άλλο ταυτολογία, κάτι που πολλοί νεοθετικιστές και αναλυτικοί δεν πρόσεξαν) η οποία, αν προσέξουμε, δεν είναι λογική, αλλά μεταφυσική αρχή, άρα αρχή της λογικής χωρίς την οποία δεν υπάρχει δεῖξις, απόδειξη (ὃπερ ἔδει δεῖξαι). Για τον Αριστοτέλη μάλιστα η αρχή της απόδειξης δεν είναι απόδειξη: …ἀλλ’ ὃπερ εἴπομεν, τοῦτο αὐτῶν το πάθος ἐστίν˙λόγον γάρ ζητοῦσιν ὧν οὐκ ἔστι λόγος˙ ἀποδείξεως γάρ ἀρχή οὐκ ἀπόδειξις ἐστιν (Μ. τ. Φ.,1011^α).

Ήδη αυτή η σύγχυση ή αυτό το αφετηριακό σφάλμα-αντίφαση είναι αυταπόδεικτο και στα παράδοξα της συνολοθεωρίας τα οποία οδηγούν και σε γραφικότητας (λ.χ. το παράδειγμα του κουρέα). Και εδώ αργά διαπιστώθηκε πως δεν υπάρχει σύνολο συνόλων, πως ο ορισμός του συνόλου ήταν τόσο αόριστος που διαλάμβανε ομάδες αντικειμένων με ομοιότητες αλλά και με διαφορές, με συνέπεια μείξη ομοίων, συγγενών κ.ο.κ. αντικειμένων που παρουσιάζουν ταυτόχρονα και αντιθέσεις, όσο και αν η μετέπειτα διάκριση μεταξύ συνόλων και τάξεων (classes) και οι ποσοδείκτες προσπάθησαν να αμβλύνουν τα προβλήματα συνέπειας.

Υπάρχει όμως και ένα σημαντικότερο σφάλμα: Οι έννοιες δεν ταυτίζονται ποτέ απολύτως με τα αντικείμενα. Οι έννοιες που νοούνται απολύτως δεν είναι δυνατό να αποδίδονται σε φθαρτά, μεταβλητά, κινητά πράγματα (πράσσω, πραγμικότητα: όρος εγελιανός) παρά δυνάμει της ομοιότητας, της αναλογίας, της συμμετρικότητας, της αντίθεσης κ.ο.κ. Είναι επομένως σαφές πως κάθε λογική καταχώρηση, και η συνεπέστερη, είναι σχετική και κατά τούτο εννοείται. Αυτό ακριβώς αποκλείει κάθε αυστηρά λογικό-τυπικό σύστημα από αδήριτη συνέπεια.

............................................................................................................................................

                                                          *

Είναι όμως δυνατό να ισχύουν αυτά στο χώρο των μαθηματικών; Απλούστερα: Ταυτίζεται η λογική με τη συμβολική-μαθηματική λογική την οποία προσπάθησαν ανεπιτυχώς να τυποποιήσουν μεγάλοι μαθηματικοί;

Κατά πρώτο λόγο, ελάχιστοι μαθηματικοί δέχονται πως η λογική ταυτίζεται με τα μαθηματικά. Ενδεικτικά, ο W. V. Quine (1908-2000) οριοθετεί με σαφήνεια, ο Russell ομολόγησε πως τα μαθηματικά είναι η τελευταία λέξη της λογικής (παραπέμπω τον αναγνώστη στο ογκώδες πόνημά μου Πανόραμα της Σύγχρονης Σκέψης, Πολιτικά Θέματα/Ίρις, 1994, όπου εκτενείς αναφορές στη λογική των αναλυτικών, στα μαθηματικά παράδοξα κ.ο.κ.), ενώ ο Cohen κάνει λόγο για ταύτιση. Το πρόβλημα μάλιστα προσλαμβάνει άλλες διαστάσεις απ’ τη στιγμή που γίνεται προσπάθεια από κορυφαίους μαθηματικούς τυποποίησης, περατοκρατικής τυποποίησης των μαθηματικών και κυριότατα, της αφετηρίας τους, της αριθμητικής. Οι προσπάθειες, μετά τις δυσκολίες των παραδόξων, αναιρέθηκαν με το γνωστό Θεώρημα (τρία κατά βάση) του 24χρονου το 1931 Kurt Gödel o οποίος απέδειξε  με σπάνια οξυδέρκεια, με μεγαλοφυή τρόπο, τη μη πληρότητα κάθε λογικομαθηματικού συστήματος εισερχόμενος στο ίδιο το σύστημα προκειμένου να αποδείξει τη μη πληρότητά του, το αναποφάσιστό του, την ω ασυνέπεια.

........................................................................................................................................

Είμαστε σε θέση να προσεγγίσουμε κατά το δυνατό φιλοσοφικά το Θεώρημα του Gödel; Ο ίδιος δε φαίνεται να ‘’αναμειγνύει’’ τον πλατωνισμό στον οποίο ήταν αφοσιωμένος με το θεώρημά του, αλλά αργότερα ομολόγησε πως οι αφετηρίες του εν προκειμένω ήταν πλατωνικές. Ας αναφέρουμε πως οι ‘’σοφοί’’ της τότε διαμορφούμενης Σχολής της Βιέννης ασχολούνταν επί διετία στις ανά δεκαπενθήμερο συναντήσεις τους με το Tractatus  του L. Wittgenstein, 1889-1951 (Βλ. γλαφυρές περιγραφές του έργου του Gödel σε συσχετισμό με τις ιδέες της εποχής του, όπως και ανάλυση του έργου του στο βιβλίο της Rebbeca Goldstein Αιχμάλωτος των Μαθηματικών, Τραυλός, 2005) o οποίος ‘’προσπερνούσε’’ απορριπτικά το Θεώρημα του μεγάλου μαθηματικού, και δεν έδωσαν σχεδόν σημασία στην ανακοίνωσή του.

Το Θεώρημα είναι μία ακραιφνώς μαθηματική απόδειξη στηριγμένη στην ιδιοφυία του. Το σημαντικό της επίτευγμα συνίσταται στο ότι εξέφρασε το σόφισμα του ψευδομένου με συγκεκριμένη αναφορά, με συγκεκριμένη μαθηματική έκφραση που σημαίνει με συγκεκριμένο αριθμό. Έχουμε πλέον όχι παράδοξο ή σόφισμα, αλλά θεώρημα. Ήδη στο πρώτο μέρος του θεωρήματος, ακολουθώντας πιστά τα Principia Mathematica, προτείνει μια αύξουσα αρίθμηση όλων των (μαθηματικών) προτάσεων που περιέχουν μία μεταβλητή η οποία αφορά φυσικούς αριθμούς (R₁(x), R₂(x)…, Rn(x) και, εστιαζόμενος σε εκείνες τις προτάσεις που αναφέρονται στον ίδιο αύξοντα αριθμό τους, δηλαδή τις R₁(1), R₂(2)…, R_n(n), αγγέλλει το πνεύμα του Θεωρήματος. Αμέσως ορίζει ένα σύνολο Κ ως το σύνολο όλων των αριθμών για τους οποίους οι εν λόγω προτάσεις δεν αποδεικνύονται. Αν όμως η πρόταση ότι ένας αριθμός ανήκει στο q, τότε η πρόταση Rq(q), δηλαδή η πρόταση ‘’Ο q ανήκει στο Κ’’ δε μπορεί να αποδειχθεί ούτε ως αληθής ούτε ως ψευδής επειδή σε κάθε περίπτωση θα καταλήγει σε αντίφαση (από το ότι ισχύει έπεται ότι δεν ισχύει και τανάπαλιν). Είναι επομένως μια πρόταση αναποφάσιστη.

Ο κλεινός μαθηματικός στηρίζεται στα Principia Mathematica των Russell και A. N. Whitehead (1861-1947. O τελευταίος διαφοροποιήθηκε αργότερα και είναι ίσως ο εκφραστικότερος πλατωνιστής: Είναι γνωστή η ίσως υπερβολική του άποψη κατά την οποία το μόνο βιβλίο στην ιστορία της σκέψης είναι το πλατωνικό έργο. Ό,τι ακολουθεί δεν είναι παρά υποσημειώσεις στο πλατωνικό έργο.), χρησιμοποιεί τους γνωστούς πλέον αριθμούς Gödel αριθμοποιώντας έτσι τις συμβολοσειρές και οποιαδήποτε παράσταση, συνάρτηση, εξίσωση, κατά τρόπο που οτιδήποτε λογικομαθηματικό εκφράζεται αριθμητικά. Προσφέρει έτσι στα αξιώματα, στις συμβολοσειρές, στα θεωρήματα, στους τύπους καθαρή αριθμητική υπόσταση, εκφράζοντας έτσι κάθε σχέση που στηρίζεται στα Principia με αριθμό, απίστευτα μεγάλο. Επεισάγει και άλλους όρους γνωστούς από σκαπανείς της μαθηματικής λογικής και κορυφώνει την επίπονη και μεγαλοφυή προσπάθειά του προσφεύγοντας στην υποκατάσταση (substitution, βραχυλογικά Sub), στην αντικατάσταση δηλαδή της μεταβλητής μιας παράστασης με τον όλο αριθμό Gödel της και φθάνοντας στα κράσπεδα της αυτοαναφοράς, απαραίτητης για να εκφράσει την επιζητούμενη ιδιότητα της μη πληρότητας

Προσφεύγει επιπλέον σε κάτι που θυμίζει το Διαγώνιο Λήμμα (ο Cantor το εισήγαγε στη θεωρία του για τους αριθμούς) αποδεικνύοντας πως υπάρχει πάντα ένας αριθμός ο οποίος είναι ο ίδιος με τον #Gödel της Sub και οδηγείται έτσι στην αυτοαναφορά: g≡sub(g). Είναι εκκωφαντικά απλό μετά δαιδαλώδη περιπλάνηση: Υπάρχουν πάντα μαθηματικές προτάσεις των οποίων ο αριθμός Gödel μιας μεταβλητής ισούται με τον αριθμό Gödel της όλης παράστασης

Το κορυφαίο βήμα του κλεινού μαθηματικού είναι καθοριστικό: Ο όρος ή η μεταμαθηματική έννοια του αποδείξιμου (Provable) ή της απόδειξης (Proof) στηρίζεται τόσο σε θεώρημα των Principia, όσο και στη θεωρία αποδείξεων του David Hilbert, θεώρημα ρηξικέλευθα εννοημένο απ’ τον Gödel, που οδηγεί στο εξής: G≡(sub(g). Και η άρνηση όμως αυτής της παράστασης (~) είναι θεώρημα των Principia (Οι Ernest Nagel και James Newman στην αναθεωρημένη έκδοση του γνωστού έργου τους Gödel’s Proof, New York University Press, 2001, παρατηρούν πως αν η παράσταση ‘2+2≠5’ που συμβολοποιούμενη γίνεται ~(ss0+ss0=sssss0), είναι έκφραση, θεώρημα των Principia Mathematica. Σελ. 85, 86)

Χρησιμοποιώντας λοιπόν αφενός μεν τη συνάρτηση που επινόησε, αφετέρου δε τη θεωρία των αποδείξεων του Hilbert και εκφράζοντας την αντιστοίχηση όλων των μαθηματικών εννοιών, κατά τη δική του σύλληψη, διατυπώνει με αριθμητικό τρόπο  μία κατεξοχήν αυτοαναφερόμενη πρόταση που δηλώνει τη μη αποδειξιμότητά της: Δεν υπάρχει αρ. Gödel αποδείξεως για την πρόταση με αριθμό Gödel x.

Αντικαθιστώντας στη συνέχεια τη μεταβλητή x από τη συνάρτηση sub, επιτυγχάνει να θέσει στη θέση του x τον αριθμό Gödel όλης της παραστάσεως, με αποτέλεσμα την επιζητούμενη αυτοαναφερόμενη πρόταση G που δηλώνει για τον εαυτό της ότι δε μπορεί να αποδειχθεί.

Ήδη, η παράσταση ‘’ανασυντάσσεται’’ δημιουργικά με την εξής σχέση: Υπάρχει απόδειξη ότι ο αριθμός m (θα μπορούσαμε να πούμε η μεταβλητή χ) σχετίζεται με τον αριθμό r, όντας απόδειξη της συνέπειας, αριθμό Gödel μιας παράστασης (Dem(r, m). Ας έχουμε υπόψη μας πως ένας αριθμός Gödel οσοδήποτε μεγάλος, έχουμε να κάνουμε με ιλιγγιώδη μεγέθη, με παραγοντοποίηση, μας οδηγεί αναδρομικώς στη συμβολική-αρχική του κατάσταση. Αν αυτό δε συμβαίνει δεν είναι αριθμός Gödel. Επομένως οποιαδήποτε τιμή οποιασδήποτε παράστασης που προκύπτει απ’ την αντικατάσταση της μεταβλητής της με τον αριθμό Gödel της, οδηγεί πάντα απ’ τον αριθμό στην αρχική συμβολική της τιμή και αντίστροφα.

  Επειδή όμως έχουμε αυτοαναφορά, στη θέση του r θέτουμε την sub(g), η σχέση γίνεται: Dem(m(Subg). Ξέρουμε όμως απ’ το διαγώνιο λήμμα πως η πρόταση G ταυτίζεται με g, οπότε, G=g. Ήδη, αν υποθέσουμε πως η G δεν είναι αποδείξιμη (~G), ωστόσο διαπιστώνουμε πως εκφράζει έναν συγκεκριμένο αριθμό. Αν είναι αποδείξιμη (G), συμβαίνει κάτι παράδοξο: Ισχύουν και οι δύο περιπτώσεις επειδή η συνάρτηση ή παράσταση λέει ταυτόχρονα για τον εαυτό της πως είναι και δεν είναι αποδείξιμη, κάτι που δείχνει πως το σύστημα είναι ασυνεπές, αναποφάσιστο.

..........................................................................................................................................

Ας λεχθεί επίσης κάτι το οποίο καίτοι αυταπόδεικτο, δε λαμβάνεται υπόψη κυρίως από εκφραστές του Κύκλου της Βιέννης, τους γνωστούς ως νεοθετικιστές ή λογικούς εμπειριστές: Η συντακτική αλήθεια είναι ισοδύναμη με τη σημασιολογική. Αυτό ισχύει και για τη γλώσσα και για τα μαθηματικά.

Βέβαια, η γλώσσα δεν ταυτίζεται με τα μαθηματικά αλλά, ως εκφράσεις του πνεύματος, έχουν κοινά στοιχεία. Ας έχουμε υπόψη μας πως το πνεύμα δεν είναι κάτι γενικό και αόριστο, αλλά ό,τι πιο συγκεκριμένο, είναι η συνέκφραση του απόλυτου με το σχετικό, του μη μεταβαλλόμενου, του άπειρου με το μεταβαλλόμενο, με το πεπερασμένο. Είναι η αρχέγονη νόηση που διαθλάται ως λογισμός και αυτό είναι το ουσιώδες.

                                                          *

Επανερχόμενοι στην επίψαυση σχέσεων μαθηματικών και φιλοσοφίας, οφείλουμε να αναρωτιόμαστε ως προς την οντολογική σπουδαιότητα των εννοιών-ιδεών και των αριθμών. Τι εκφράζουν οι ιδέες των πραγμάτων, τι εκφράζουν οι αριθμοί; Απλά, θα λέγαμε, τα μεταβαλλόμενα μεγέθη, δεδομένης της αέναης μεταβολής, φθοράς, αλλαγής ή τη μύχια φύση τους;

Είναι γνωστό πως ένας καθαρά μαθηματικός τύπος δεν έχει χρονικότητα παρά απ’ τη στιγμή που ‘’ζωγραφίζει’’ μεγέθη ή καταστάσεις μεγεθών. Ο καθαρά μαθηματικός τύπος όμως δεν είναι διανοητός χωρίς τη μονάδα και τους αριθμούς, παρά το ότι οι σχέσεις γίνονται μεταμαθηματικές απ’ τη στιγμή που εισάγονται σύμβολα, παρενθέσεις, ποσοδείκτες κ.ο.κ. και το πρόβλημα συνίσταται στο κατά πόσο μια μεταμαθηματική ‘’επέμβαση’’ συνάδει με την καθαρή μαθηματική πραγματικότητα. Είναι τα μαθηματικά μεγέθη απόλυτες ιδέες, απέραντες αριθμητικά, αλλά σχηματίζουσες τύπους χάρη στην ενότητά τους που αποκαλύπτει την άπειρη αρχή τους; Στη μέγιστη πλειοψηφία τους οι μαθηματικοί απαντούν πλατωνικά, καταφατικά δηλαδή. Αναλογιζόμαστε επομένως αν οι μεταμαθηματικές σχέσεις είναι μεταφυσικές. Συνέπεια αυτής της θεώρησης είναι ότι οι μαθηματικοί ανακαλύπτουν και δε δημιουργούν τα μαθηματικά, ζουν την άχρονη μαθηματική αλήθεια, τη μαθηματική αιωνιότητα, όπως υποστηρίζει ο μεγάλος σύγχρονος μαθηματικός A. Connes (1947-).Υπ’ αυτές τις προϋποθέσεις μπορούμε να κάνουμε λόγο για παράλληλους τόπους φιλοσοφίας και μαθηματικών.

                                                          *

Ι. Έχουμε πει πως η αρχή της ταυτότητας, μία και μόνη, υπό ταυτολογικούς όρους (άπειρο, απόλυτο, αμερές, όλο, άτμητο κ.ο.κ.), διαθλάται στην απέραντη ετερότητα-ποικιλομορφία των αισθητών μεγεθών τα οποία και ορίζει χωρίς να ορίζεται από αυτά. Απ’ την ταυτότητα αναδύεται η ετερότητα ως κατεξοχήν τρόπος ανάγνωσης του αισθητού (Μεταφυσική αρχή της ταυτότητας, Λογική αρχή της ετερότητας, Λογικομεταφυσική αρχή της ομοιότητας-αναλογίας) και να η συγκεκριμένη έκφραση η οποία τρέφει τη λογικότητα.

ΙΙ. Στη μαθηματική αλήθεια όμως δεν επεμβαίνει καθόλου το αισθητό, τα αισθητά μεγέθη. Οι αριθμοί, οσοδήποτε απέραντοι, είναι η μόνη αφετηρία μεταμαθηματικών θεωρήσεων σε πλήρη αρμονία και συνέπεια με τις σχέσεις και τις ιδιότητές τους.

Θα μπορούσαμε όμως να κάνουμε λόγο για την ταυτότητα της μονάδας η οποία βρίσκεται σε αδιάσπαστη ενότητα με τους άλλους αριθμούς οι οποίοι όμως είναι αδιανόητοι χωρίς τη μονάδα. Όπως το άπειρο είναι αδιανόητο χωρίς το πεπερασμένο το οποίο είναι νοητός καθρέπτης του, καθρέπτης της μαθηματικής αιωνιότητας είναι οι μαγικοί κλάδοι των μαθηματικών και εδώ μπορούμε να επισημάνουμε έναν παράλληλο τόπο. Πολυποίκιλτη ανάγνωση του αδιαίρετου, του απόλυτου σχετικά εκφραζόμενου, να η εγγύτητα φιλοσοφίας και μαθηματικών.

ΙΙΙ. Όπως η φιλοσοφία δε συστηματοποιείται (η συστηματοποίηση είναι μέχρι ένα τουλάχιστον σημείο εξαπλούστευση ή και παραχάραξη), κατά παράλληλο τρόπο τα μαθηματικά στην προσπάθεια τυπικής-λογικής τους συστηματοποίησης αποδεικνύονται ανεπαρκή, μη πλήρη. Αυτό έδειξε το περιώνυμο θεώρημα του Gödel, κάτι που συνιστά κραταίωση της μαθηματικής αλήθειας και όχι αδυναμία της. Ο Roger Penrose (1931-), διασυσχετίζοντας τις μηχανές του Α. Turing (1912-1954, 1936) όπου οι αδυναμίες της υπολογιστικότητας (αλγόριθμος) προτυπώνουν ‘’αναδρομικά’’ τη μη πληρότητα του Gödel (1931), συμπυκνώνει ως εξής: Ως εκ τούτου υπάρχουν αληθείς Π1  προτάσεις που δεν μπορούν να εξαχθούν μέσω των κανόνων του τυπικού συστήματος F (υποθέτοντας ότι το F είναι αξιόπιστο). Αυτό είναι στην ουσία το θεώρημα του Gödel. (Αναζητώντας την πραγματικότητα, εκδ. Γκοβόστη, 2010, σελ. 408)

                                                *

Βέβαια, υπάρχει πάντα η δυνατότητα πλάνης, συγχύσεων, πεπερασμένων δυνατοτήτων, υπολογισιμότητας, όποιος αλγόριθμος και αν εισαχθεί (Turing), κάτι που σημαίνει πως η αυτοματοποίηση δεν είναι άσφαλτη. Ιερό παίγνιο ο κόσμος του πνεύματος που δοκιμάζει εσαεί τις ανθρώπινες δυνατότητες οι οποίες, παρά τα επικά τους κατορθώματα, ενέχουν πάντα τον κίνδυνο αυτοεγκλωβισμού σε τεχνητούς λαβυρίνθους με συνέπεια τις ανεπάρκειες και τις αντιφάσεις.

                                                *

Επιστρέφουμε  αναπόφευκτα σε κάτι απ’ το οποίο οφείλαμε ί- σως να ξεκινήσουμε, στο πρώτο θεώρημα της πληρότητας, κατ’ άλλους στην αρχή της ισότητας (Leibniz: Identity  of indiscernibles), στη λάμψη της οικουμενικότητας ως αψευδούς μαρτυρίας. ‘Έχει ως εξής: (χ) (ψ)(χ=ψ)®{P(x)«P(ψ). Πρόκειται για ταυτολογία κατά την οποία το κατηγόρημα P(x) ταυτίζεται με το P(ψ). Εδώ η αλήθεια είναι αναμφισβήτητη, αλλά αν οι μαθηματικές σχέσεις είναι ταυτολογίες, κάτι που διατύπωσε ο Wittgenstein στο Tractatus και αποδέχτηκε ο Russell, όπως ο ίδιος oμολόγησε στο έργο του My philosophical development, ποιου είδους γνώση προάγουν τα καθαρά μαθηματικά;

Βεβαίως προκύπτει το εξής πρόβλημα: Έχουν σχέση οι ταυτολογίες με την ταυτότητα; Αν η ταυτότητα είναι πηγή ανάγνωσης των ετεροτήτων δυνάμει της αναλογίας, της ομοιότητας κ.ο.κ., υπάρχει μια εσώτερη σχέση ταυτότητας και ταυτολογίας την οποία δε μπορούμε να αναπτύξουμε στα πλαίσια αυτού του κειμένου. Αρκούμαστε μόνο στο εξής: Οι ιδιότητες των αρτίων, των περιττών, των πρώτων κ.ο.κ. αριθμών δεν είναι διανοητές χωρίς την έμφυτή κοινωνία τους, κατά τρόπο που η ταυτότητα είναι πηγή της ταυτολογίας, όπως η μονάδα είναι η πρωτοαφετηρία. Ήδη, στα μαθηματικά, στους αριθμούς εν προκειμένω, διακρίνουμε και την ταυτότητα και την ετερότητα και την ομοιότητα-αναλογία με όλες τις διαθλάσεις τους. Αυτές οι μεταφυσικο-λογικές κατηγορίες δεν προκύπτουν απ’ την εμπειρία αλλά σφραγίζουν κάθε εμπειρική διατύπωση και ο μόνος τρόπος με τον οποίο φωτίζουν το λόγο είναι ο τρόπος των μαθηματικών. Υπ’ αυτό το πνεύμα η αυτοαναφορά, η ταυτότητα ενός μεγέθους με τον εαυτό του, είναι θεωρητική σύλληψη που δεν αποκρίνεται στη φυσική πραγματικότητα, αλλά που μαθηματικά και αξιωματικά καταγράφεται ως ταυτολογία υπό το φως της μη παραστατής ταυτότητας δίκην του πλατωνικού αγαθού.

Αναφέρουμε, τέλος, δύο  ρήσεις του Πλάτωνα, αρκετά διαφωτιστικές: …ἕν τε ὄν και πολλά και μήτε ἕν μήτε πολλά (Παρμενίδης, 155e)…Τό κατά ταυτά καί  ὡσαύτως ἔχειν ἀεί καί ταυτόν εἶναι τοῖς πάντων θειοτάτοις προσήκει μόνοις (Πολιτικός, 269d).^*

                                                                             Νίκος Μακρής

*Ο Gödel διατύπωσε και απόδειξη ύπαρξης του Θεού με βάση βέβαια μαθηματικά αξιώματα. Καμιά ‘’απόδειξη’’ ύπαρξης του Θεού δεν πείθει. Αναφέρουμε ωστόσο πως οι  μαθηματικοί Chr. Benzemüller, Γερμανός και Br. W. Paleo, Αυστριακός, ισχυρίζονται πως επικύρωσαν με ειδικά λογισμικά την ‘’απόδειξη’’ του Gödel. Απ’ την Ιστορία των Μαθηματικών μαθαίνουμε πως και άλλοι κλεινοί μαθηματικοί έκαναν παρόμοιες προσπάθειες.

^**Ευχαριστώ το φίλο φυσικομαθηματικό και διανοούμενο Γιάννη Βουλιουρή για τις πολύτιμες παρατηρήσεις επί του παρόντος κειμένου.